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| Title: | Das Gaußsche Eliminationsverfahren | |
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Globale Variablen und Konstanten
In der Konstante MaxGleichungen wird die maximale Anzahl der Gleichungen, d.h. die maximale Dimension des Gleichungssystems festgelegt. Dies ist notwendig, da in PASCAL die Größe von Arrays nur über Konstanten definiert werden kann.
Die Konstante ZeichenBreite enthält die Breite des Bildschirms in Zeichen. Dieser Wert wird verwendet, um Daten zentriert ausgeben zu können.
Koeffizient ist eine Variable vom Typ Matrix in diesem zweidimensionalen Feld wird die Koeffizientenmatrix zusammen mit den Freigliedern gespeichert.
Lösung soll am Ende des Programms die simultane Lösung des Gleichungssystems enthalten. Lösung kann genauso wie Koeffizient Zahlen vom Typ Real speichern.
n beeinhaltet die tatsächliche Dimension des Gleichungssystems, allerdings darf n MaxGleichungen nicht überschreiten.
Prozeduren
Die Prozedur Eingabe liest, wie der Name bereits ausdrückt, die vom Benutzer gewünschten Daten ein und speichert diese dem entsprechend in n und Koeffizient.
DruckeGleichung druckt die Gleichung Nr auf den Bildschirm. Diese Prozedur wird von DruckeGleichungssystem verwendet, um das komplette Gleichungssystem in einem ansehnlichen Format auszugeben.
Die Prozedur Abbruch übernimmt die Fehlerausgabe, falls das eingegebene Gleichungssystem keine eindeutige Lösung besitzt.
Eliminieren und RückwärtsEinsetzen sind die Prozeduren, die vorher bereits ausführlich entwickelt wurden. Sie wurden jedoch noch um einige Zeilen erweitert, damit die jeweiligen Zwischenschritte mit ausgegeben werden können, sonst wurde nichts verändert.
DruckeLösung übernimmt die Ausgabe der simultanen Lösung.
Hauptprogramm:
Das Hauptprogramm konnte sehr kurz gehalten werden, da die überwiegende Arbeit bereits von den Prozeduren übernommen wird.
Zu Beginn des Hauptprogramms wird mittels der Prozedur Eingabe die Eingabe des Benutzers bearbeitet, darauf wird der Bildschirm gelöscht und die eingegebenen Koeffizienten als Gleichungssystem mit DruckeGleichungssystem dargestellt. Schließlich übernehmen die Prozeduren Eliminieren und RückwärtsEinsetzen das Lösen des Gleichungssystems. Diese Lösung wird dann zum Schluß mit DruckeLösung ausgegeben.
2. Gauß-Jordan Verfahren
2.1 Grundprinzip
Das PASCAL-Programm für das Gauß-Jordan-Verfahren läßt sich sehr gut aus dem gerade besprochenen entwickeln. Da sich der Gauß-Jordan Algorithmus vom Gauß'schen Eliminationsvefahren erst ab dem Jordan'schen Reduktionsvefahren unterscheidet, lassen sich die Prozeduren "Eingabe" und "Eliminieren" unverändert übernehmen.
Man muß lediglich eine "GaussJordanReduktion"-Prozedur programmieren. Dies gestaltet sich auch relativ einfach, da die "Eliminieren"-Prozedur dafür nur etwas umgeschrieben werden muß:
PROCEDURE GaussJordanReduktion; VAR i, j, k: INTEGER; Faktor: REAL; BEGIN FOR k:= n DOWNTO 1 DO BEGIN IF Koeffizient[k, k] = 0 THEN Abbruch; FOR i:= k - 1 DOWNTO 1 DO BEGIN Faktor:= Koeffizient[i, k] / Koeffizient[k, k]; FOR j:= n + 1 DOWNTO i DO Koeffizient[i,j]:=Koeffizient[i,j]-Faktor*Koeffizient[k, j]; END; Lösung[k] := Koeffizient[k, n + 1] / Koeffizient[k, k]; END; END;
Die Pivotierung kann völlig entfallen. In dem gestaffelten Gleichungssystem existiert pro Spalte jeweils nur ein Pivotelement, so daß es also gar keine Alternative zum Tauschen gibt. Totales Pivotieren wäre möglich, würde das Programm aber nur unnötig verlängern.
Die weiteren Änderungen sind ebenfalls sehr gering. Es müssen lediglich die Grenzen und die Laufrichtung der k-, i- und j-Schleife geändert werden (kursiv hervorgehoben).
2.2 Programmbeschreibung
Auch dieses Programm liegt wieder im Anhang als Source vor, wobei auch dieses Programm wieder Zwischenschritte ausgeben kann. Auf die Dokumentation dieser Programmteile wird wie oben verzichtet.
Die Programmbeschreibung kann sehr kurz gehalten werden, da dieser Quelltext mit dem Programm Gauß in den Punkten Variablen und Konstanten, Funktionen und Hauptprogramm fast übereinstimmt. Es wurde lediglich die Prozedur Rückwärtseinsetzen durch die Prozedur GaussJordanReduktion ausgetauscht, sonst blieb alles beim Alten.
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