3. Gauß-Jordan Algorithmus
Der Gauß-Jordan Algorithmus unterscheidet sich vom Gauß'schen-Eliminationsverfahren nur in der zweiten Etappe. Die erste Etappe ist bei beiden Verfahren die Vorwärtselimination. Nachdem nun das Gleichungssystem in ein gestaffeltes System doch Vorwärtseliminieren überführt worden ist, wird nun nicht rücksubstitutiert, sondern man versucht oberhalb der Hauptdiagonale ebenfalls Nullen zu erzeugen. Zum Schluß bleibt also nur noch die Hauptdiagonale stehen, und die Werte für die xi mit i=1..n sind damit gegeben:

s₁₁x₁ = t₁
s₂₂x₂ = t₂
................................
. s_nnx_n = t_n

Das angestrebte Ziel erreicht man durch das sogenannte Gauß-Jordan'sche Reduktionsverfahren. Man geht von einem gestaffelten Gleichungsystem, das durch Vorwärtselemination erstellt wurde:

w₁₁x₁ + w₁₂x₂ +..............+ w_1nx_n = v₁
w₂₂x₂ +..............+ w_2nx_n = v₂
.............................................
w_n-1,n-1x_n-1 + w_n-1,nx_n = v_n
w_nnx_n = v_n

Die eben durchgeführte Vorwärtselimination muß nun genau in anderer Richtung durchgeführt werden, d.h. es gilt nun in der ersten Reduktionsstufe die letzte Spalte ab der vorletzten Zeile zu eliminieren, denn die letzte Zeile entspricht bereits der gewünschten Endform. Die letze Zeile wird also wieder mit einem Faktor c=w_n-1,n:w_nn multipliziert und dann von der vorletzen Zeile subtrahiert werden. Die vorletzte Zeile lautet dann: