2.3 Verbesserung durch Pivotierung

Durch das nachfolgend erklärte Verfahren kann die Effektivität der Vorwärtselimination verbessert werden.
Als Spitzen- oder Pivotelement bezeichnet man den Koeffizienten, der bei der Berechnung des Faktors c im Nenner steht.
Man kann nun durch Zeilenvertauschen erreichen, daß das Pivotelement das betragsgrößte in der jeweiligen Spalte ist, z.B. bei Eliminationsstufe k=1 und |a₁₁| < |a₅₁|:

nach Zeilvertauschen:

a₅₁x₁ + a₅₂x₂ +...+ a_5nx_n = b₅
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +...+ a_2nx_n = b₂
a₃₁x₁ + a₃₂x₂ +...+ a_3nx_n = b₃
a₄₁x₁ + a₄₂x₂ +...+ a_4nx_n = b₄
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +...+ a_1nx_n = b₁
a₆₁x₁ + a₆₂x₂ +...+ a_6nx_n = b₆
..............................
a_n1x₁ + a_n2x₂ +...+ a_nnx_n = b_n

Für den Faktor c bedeutet dies, daß er nun höchstens den Wert 1 annehmen kann, da das Pivotelement bei der Berechnung von c im Nenner steht und ist durch die Pivotierung der Nenner stets größer als der Zähler.
Durch dieses Verfahren kann man die Koeffizienten klein halten. Andernfalls könnten einige Koeffizienten sehr groß werden und andere sehr klein, denn wenn der Pivotwert a_ii mit i=1..n sehr klein wäre, würde der Faktor c sehr groß.
Darauffolgend würde a_ii nun mit dem Faktor c multipliziert werden. Rechenmaschinen haben nun einmal große Probleme damit, aus Produkten mit sehr großen und sehr kleinen Faktoren vernünftige Ergebnisse zu berechnen. Ein Gleichungsystem könnte nun derart schlecht konditioniert sein, daß sich solche Rechenfehler häufen und die Lösungen verzerrt würden. Dies wird mit der Pivotierung umgangen.
Werden nur Zeilenausgetauscht, so bezeichnet man dieses Vorgehen als partielle Pivotierung. Vollständige Pivotierung wäre, wenn man zusätzlich noch Spalten vertauschen würde. In der Praxis hat sich jedoch gezeigt, daß das weitaus aufwendigere vollständige Pivotieren gegenüber dem partiellen Pivotieren keinen Vorteil hat. Die Genauigkeit der Lösung wird nicht verbessert.
Die partielle Pivotierung darf bei der Anwendung des Gauß'schen Eliminationsverfahren noch aus einem anderen Grund keineswegs fehlen. Es könnte nämlich sein, daß das aktuelle Pivotelement den Wert 0 hat. In diesem Fall würde man bei der Berechnung des Faktors c auf eine Division durch Null stoßen.
Mit der Pivotierung wird das umgangen, sie darf also auf keinen Fall fehlen.