2.1 Vorwärtselimination

Ziel dieser ersten Etappe ist es, das Gleichungssystem auf eine Dreiecksform zu bringen, wobei unterhalb der Hauptdiagonalen Nullen stehen und oberhalb neue Koeffizienten stehen sollen.
Das Gleichungssystem soll nach dieser Etappe also wie folgt aussehen:

a'₁₁x₁ + a'₁₂x₂ +...+ a'_1nx_n = b'₁
0 + a'₂₂x₂ +...+ a'_2nx_n = b'₂
..................................
0 + 0 + 0 + a'_nnx_n = b'_n

Ein Gleichungssystem, das auf diese Form gebracht wurde, wird auch als gestaffeltes Gleichungssystem bezeichnet.
Die erste Zeile im Gleichungssystem enspricht bereits der Zeile im gestaffelten Gleichungssystem. In allen weiteren Zeilen muß man nun mit geeigneten Operationen in der ersten Spalte Nullen erzeugen. Dazu benutzt man die zweite Elementaroperation bei Matrizen. Man multipliziert dazu die erste Zeile mit einem geeigneten Faktor c und subtrahiert dieses Produkt dann von der zweiten Zeile.
Der Faktor c wird so berechnet:

c=a₂₁:a₁₁

Nach diesem Schritt hat man die erste Null erzeugt:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +...+ a_1nx_n = b₁
0 + a'₂₂x₂ +...+ a'_2nx_n = b'₂
...............................
a_n1x₁ + a_n2x₂ +...+ a_nnx_n = b_n

Im zweiten Schritt multipliziert man wieder die erste Zeile mit einem Faktor c, allerdings dieses Mal mit c=a₃₁:a₁₁ und subtrahiert diese von der dritten Zeile. Dann wird das Produkt aus c=a₄₁:a₁₁ und erster Zeile von der vierten Zeile subtrahiert. So verfährt man weiter bis zur letzten Zeile. Nach diesem Vorgang sind alle a_i1 mit i=2..n eliminiert:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +...+ a_1nx_n = b₁
0 + a'₂₂x₂ +...+ a'2_nx_n = b'₂
.................................
0 + a'_n2x₂ +...+ a'_nnx_n = b'_n

Jetzt stimmt auch schon die zweite Zeile mit der der gewünschten Endform überein. Man muß nun die zweite Spalte ab der dritten Zeile eliminieren. Dazu schreibt man beim Faktor c jeweils a'₂₂ in den Nenner. Im Zähler steht dann wieder der jeweilige Koeffizient, der Null werden soll. Außerdem multipliziert man nun nicht mehr die erste Zeile mit diesem Faktor, sondern die zweite Zeile. Wir befinden uns also in der zweiten Eliminationsstufe. Sonst verfährt man wie bei der ersten Eliminationsstufe. Bei der Eliminationsstufe k wird der Faktor c also immer aus einem Quotienten mit dem ersten Koeffizient der k-ten Zeile im Nenner und dem zu eliminierenden Koeffizienten im Zähler gebildet. Mit diesem Faktor wird nun die k-te Zeile multipliziert und von der Zeile mit dem zu eliminierendem Koeffizient subtrahiert.
Der Faktor c allgemein: