Protokoll GaussSeidel 3:

>ClrScr<
Anzahl der zu lösenden Gleichungen:5
>ClrScr<
>Koeffizienteneingabe<


Sollen die Rechenschritte angezeigt werden (J/N):n
>ClrScr<

  Start-Gleichungen:
| (1) 60*x1 +  2*x2 +  3*x3 +  4*x4 +  5*x5 =  80
| (2) 3*x1 +  45*x2 +  3*x3 +  4*x4 +  6*x5 = -10
| (3) 3*x1 +  8*x2 +  5*x3 +  65*x4 +  4*x5 =  16
| (4) 2*x1 +  4*x2 +  49*x3 +  3*x4 + -4*x5 =  69
| (5) 2*x1 +  4*x2 +  9*x3 +  3*x4 +  96*x5 =  0.5
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 Nach 7 Iterationen:
| (1) x1 =  1.28025
| (2) x2 = -0.39275
| (3) x3 =  1.36824
| (4) x4 =  0.138629
| (5) x5 = -0.137704
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Anhang C: Vergleich der Algorithmen

In diesem Abschnitt werden die drei Algorithmen miteinander verglichen. Dazu werden mit GaussVergleich jeweils die Zeiten ermittelt, die die drei Algorithmen für das Lösen eines eingebenen Gleichungssystems benötigen.
Dabei ist zu beachten, daß nur solche Gleichungssysteme zum Test herangezogen werden können, die auch für das Gauß-Seidel-Verfahren geeignet sind.
Bei den Zeiten muß man berücksichtigen, daß sie mit der internen Uhr eines COMMODORE AMIGA 500 gemessen wurden, der mit einem 68000er Prozessor bestückt und mit 7.14 MHz getaktet war. Bei anderen Computern können sich natürlich andere Zeiten ergeben.
Wichtig sind allerdings nicht die absoluten Zeitwerte, sondern die Verhältnisse zueinander.
In der folgenden Tabelle sind einige Testwerte zusammengefaßt:

Dimension   Gauß/s   GaußJordan/s   GaußSeidel/s
    1        0           0              0.04    
    5        0.02        0.02           0.06    
   10        0.14        0.22           0.26    
   15        0.44        0.72           0.56    
   20        0.94        1.64           0.96    
   25        1.78        3.08           1.48    
   30        3.02        5.22           2.3     
   50       13.02       23.46           5.64    
   70       34.74       62.4           10.94    
  100       99.46      182.36          26.7     

Aus diesem Diagramm erkennt man nun, daß das Gauß-Seidel-Verfahren, den Gauß-Jordan Algorithmus etwa bei der Dimension n=10, das Gauß'sche Verfahren erst bei n=20 einholt.
Bei n=50 ist das iterative Verfahren fast um das doppelte schneller als das Eliminationsverfahren, und mehr als dreimal schneller als das Reduktionsverfahren.
Weiter kann man in dem Diagramm an dem unruhigen Verlauf der Kurve des Gauß-Seidel-Verfahrens, erkennen, daß für dieses Verfahren die Zeiten sehr stark schwanken, da die Konvergenz und somit die Geschwindigkeit sehr stark von der Konditionierung des Gleichungssystems abhängt. Bei den beiden anderen Verfahren dagegen hängt die Arbeitszeit fast nur von der Dimension des Gleichungsverfahren ab, d.h. die Arbeitszeit für verschiedene Gleichungssysteme der Dimension n ist etwa gleich.

Anhang D: Bibliographische Daten

Miller, A. R.: PASCAL PROGRAMME. Mathematik Statistik Informatik,
Berkley; Düsseldorf,
SYBEX-Verlag 19863,
S. 73-94 u. S. 129-138

Prey, W.; Flannery, B.; Tuckolsky, S.; Veterling, W.:
Numerical Recipes. The Art of scientific computing,
Cambridge University Press 1986,
S. 24-31

Sedgewick, R.: Algorithmen,
Bonn; München; Reading,
Addision-Wesley 1991,
S. 607-616

Zurmühl, R.: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker,
Berlin,
Springer-Verlag 19655,
S. 106-112 u. S. 157-161