Das Gaußsche Eliminationsverfahren

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Das Gaußsche Eliminationsverfahren

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I) Theoretische Grundlagen

1. Einführung

Diese Facharbeit behandelt drei Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Im ersten werden zunächst die theoretischen Grundlagen der Verfahren dargelegt, im zweiten Teil folgt dann die Umsetzung der Verfahren in Computerprogramme.
Zunächst soll allerdings zuerst einmal der Aufbau der linearen Gleichungssysteme erklärt werden.

1.1 Aufbau einer linearen Gleichung

Lineare Gleichungssysteme sind ihrerseits aus linearen Gleichungen aufgebaut.
Lineare Gleichungen bestehen aus Summen von Termen wie:

ax + by + cz = d

a,b,c und d sind Konstanten, x, y und z dagegen Variablen in dieser Gleichung. Der auf der rechten Seite stehende Teil der Gleichung wird als Freiglied bezeichnet.
Ein Term ist eine Multiplikation von einer Konstanten einer Variable, wobei diese nur in der ersten Potenz auftreten darf.

1.2 Lineare Gleichungssysteme

Faßt man mehrere lineare Gleichungen zusammen, so erhält man ein lineares Gleichungssystem:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +...+ a_1nx_n = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +...+ a_2nx_n = b₂
..............................
a_n1x₁ + a_n2x₂ +...+ a_nnx_n = b_n

Die a_ij mit i,j=1..n sind Konstanten und x_i mit i=1..n Variablen. b_i mit i=1..n stellen die Freiglieder dar.
Obiges Gleichungssystem ist außerdem noch ein Spezialfall, da die Anzahl der Unbekannten der Anzahl der Gleichungen entspricht. Für diesen Spezialfall sind eindeutige Lösungen möglich. Um diese Lösungen zu finden, bedient man sich verschiedener Lösungsverfahren, z.B. Cramer'sche Regel, Gaußsches Eliminationsverfahren.
Letzteres soll später genauer untersucht werden.

1.3 Lineare Gleichungssysteme als Matrizen

Man kann das gerade vorgestellte Gleichungssystem auch noch auf eine andere Weise darstellen:

|¯a₁₁ a₁₂ ... a_1n¯| |¯x₁¯| |¯b₁¯|
| a₂₁ a₂₂ ... a_2n | | x₂ | | b₂ |
| a₃₁ a₃₂ ... a_3n | | x₃ | = | b₃ |
| ............... | | .. | | .. |
|_a_n1 a_n2 ... a_nn_| |_x_n_| |_b_n_|

noch kürzer:

Ax = b

A repräsentiert die Koeffizientenmatrix, x die Unbekannten und b die Freiglieder des Gleichungssystems.

Bei Matrizen sind drei Umformungen erlaubt, ohne daß sich das Ergebnis der Matrix ändert:
1. Vertauschen von Zeilen
2. Ersetzen von einer Zeile durch eine Linearkombination aus dieser Zeile und einer anderen.
3. Vertauschen von Spalten

2. Gaußsches Eliminationsverfahren

Carl Friedrich Gauß war einer der größten Mathematiker überhaupt. Neben seinen großen Entdeckungen, wie z.B. der Gauß'schen Normalverteilung, der Gauß'schen Fehlerfunktion oder der Gauß'schen Zahlenebene, wird das Gauß'sche Eliminationsverfahren oft übersehen.
Der Gaußsche Eliminationsalgorithmus gehört zu den wichtigsten numerischen Verfahren der Mathematik. Er ist bereits 150 Jahre alt und hat sich in dieser Zeit kaum verändert. Dieses Verfahren wurde in den letzten zwanzig Jahren ausgiebig erforscht, was für die Effizienz dieses Algorithmuses spricht.
Zu dem ist das Gaußsche Eliminationsverfahren relativ einfach.
Der Algorithmus besteht aus zwei Etappen, aus der Vorwärtselimination und dem Rückwärtseinsetzen.




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