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| Titel: | Das Gaußsche Eliminationsverfahren | |
| Beschreibung: | Diese Facharbeit behandelt drei Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. | |
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| Autor: | Florian Michahelles | |
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I) Theoretische Grundlagen
Diese Facharbeit behandelt drei Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Im ersten werden zunächst die theoretischen Grundlagen der Verfahren dargelegt, im zweiten Teil folgt dann die Umsetzung der Verfahren in Computerprogramme.
1.1 Aufbau einer linearen Gleichung
1.2 Lineare Gleichungssysteme
a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn = b1
Die aij mit i,j=1..n sind Konstanten und xi mit i=1..n Variablen. bi mit i=1..n stellen die Freiglieder dar.
1.3 Lineare Gleichungssysteme als Matrizen
|¯a11 a12 ... a1n¯| |¯x1¯| |¯b1¯|
noch kürzer:
2. Gaußsches Eliminationsverfahren
Zunächst soll allerdings zuerst einmal der Aufbau der linearen Gleichungssysteme erklärt werden.
Lineare Gleichungssysteme sind ihrerseits aus linearen Gleichungen aufgebaut.
Lineare Gleichungen bestehen aus Summen von Termen wie:
a,b,c und d sind Konstanten, x, y und z dagegen Variablen in dieser Gleichung. Der auf der rechten Seite stehende Teil der Gleichung wird als Freiglied bezeichnet.
Ein Term ist eine Multiplikation von einer Konstanten einer Variable, wobei diese nur in der ersten Potenz auftreten darf.
Faßt man mehrere lineare Gleichungen zusammen, so erhält man ein lineares Gleichungssystem:
a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn = b2
..............................
an1x1 + an2x2 +...+ annxn = bn
Obiges Gleichungssystem ist außerdem noch ein Spezialfall, da die Anzahl der Unbekannten der Anzahl der Gleichungen entspricht. Für diesen Spezialfall sind eindeutige Lösungen möglich. Um diese Lösungen zu finden, bedient man sich verschiedener Lösungsverfahren, z.B. Cramer'sche Regel, Gaußsches Eliminationsverfahren.
Letzteres soll später genauer untersucht werden.
Man kann das gerade vorgestellte Gleichungssystem auch noch auf eine andere Weise darstellen:
| a21 a22 ... a2n | | x2 | | b2 |
| a31 a32 ... a3n | | x3 | = | b3 |
| ............... | | .. | | .. |
|_an1 an2 ... ann_| |_xn_| |_bn_|
A repräsentiert die Koeffizientenmatrix, x die Unbekannten und b die Freiglieder des Gleichungssystems.
Bei Matrizen sind drei Umformungen erlaubt, ohne daß sich das Ergebnis der Matrix ändert:
1. Vertauschen von Zeilen
2. Ersetzen von einer Zeile durch eine Linearkombination aus dieser Zeile und einer anderen.
3. Vertauschen von Spalten
Carl Friedrich Gauß war einer der größten Mathematiker überhaupt. Neben seinen
großen Entdeckungen, wie z.B. der Gauß'schen Normalverteilung, der Gauß'schen
Fehlerfunktion oder der Gauß'schen Zahlenebene, wird das Gauß'sche Eliminationsverfahren
oft übersehen.
Der Gaußsche Eliminationsalgorithmus gehört zu den wichtigsten numerischen Verfahren
der Mathematik. Er ist bereits 150 Jahre alt und hat sich in dieser Zeit kaum
verändert. Dieses Verfahren wurde in den letzten zwanzig Jahren ausgiebig erforscht,
was für die Effizienz dieses Algorithmuses spricht.
Zu dem ist das Gaußsche Eliminationsverfahren relativ einfach.
Der Algorithmus besteht aus zwei Etappen, aus der Vorwärtselimination und dem
Rückwärtseinsetzen.
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Dieser Artikel wurde uns freundlicherweise von Florian Michahelles zur Verfügung gestellt.
Siehe auch Homepage des Autors.
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